確率分布についてできるだけ詳しくまとめてみた【離散確率分布編】

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各確率分布がどういうものなのか、確率質量(密度)関数、累積分布関数、確率母関数、積率母関数、期待値、分散はどういう式になっているかは書籍などを見れば載っています

しかし、それらがどのような考えで導出されているのかが省略されていたりする場合があります

こういうところを自分でしっかりと理解したいという方も多いのではないでしょうか?

そこで本記事ではできる限り考え方や導出方法も交えて各確率分布について整理していきます

現時点での制限事項は下記です

  • 今回は離散確率分布についてまとめていき、連続確率分布については別の記事でまとめる予定です
  • 私なりに理解しずらかったところを補足したりしているつもりですが、証明がまだできていない部分、整理しきれていない部分があります
  • まだ記載し切れていない部分がいくつかあります

これらの部分は少しずつ更新して改善していく予定ですですので、暇なときにまた訪れていただければ幸いです

何か誤りなどあればコメントやお問い合わせフォームからお願いします

連続確率分布についてはこちらです

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ベルヌーイ分布

表になる確率がpの1回のコイントスの分布であると考えられる

3つのアプローチでベルヌーイ分布の期待値と分散を求めてみよう

確率質量関数

まず以下がベルヌーイ分布の確率質量関数である

(1)   \begin{align*} f(x;p) & = p^x (1-p)^{1-x}\ x\in \{0, 1\} & \end{align*}

コインが表のときの確率がpでコインが表のときにx=1とし、コインが裏のときにx=0とするようなコイントスを考える

表になる確率がpのときに上記の確率質量関数によって、コインが表のときの確率がp、コインが裏のときの確率が1-pというように正しく表現できていることがわかる

確率質量関数から期待値と分散を求める

(2)   \begin{align*} E(X) & = \sum^{1}_{x=0} x p^x (1-p)^{1-x} & \\  & = p& \\  \end{align*}

(3)   \begin{align*}  E(X^2) & = \sum^{1}_{x=0} x^2 p^x (1-p)^{1-x} & \\  & = p& \\  \end{align*}

(4)   \begin{align*} V(X) & = E(X^2) - {E(X)}^2& \\  & = p - p^2& \\  & = p(1-p)&  \end{align*}

累積分布関数

(5)   \begin{align*} F_X(t) & = P(X \leq t)& \\  & = 1-p (t = 0) または 1 (t=1) & \\  & = (1-p)^{1-t}&  \end{align*}

確率母関数

(6)   \begin{align*} G_X(t) & = E[t^X]& \\  & = \sum^{1}_{x=0} t^x p^x(1-p)^{1-x} & \\  & = (1-p) + tp&  \end{align*}

確率母関数から期待値と分散を求める

(7)   \begin{align*} G_X^{(1)}(t) & = p& \\  G_X^{(2)}(t) & = 0& \\  E(X) & = G_X^{(1)}(1) = p& \\  V(X) & = G_X^{(2)}(1) - {G_X^{(1)}(1)}^2+G_X^{(1)}(1) & \\  & = 0-p^2+p& \\  & = p(1-p)& \end{align*}

積率母関数

(8)   \begin{align*}  M_X(t) & = E[e^{tX}]& \\  & = \sum^{1}_{x=0} e^{tx} p^x(1-p)^{1-x}& \\  & = (1-p) + e^t p& \end{align*}

積率母関数から期待値と分散を求める

(9)   \begin{align*} M_X^{(1)}(t) & = e^t p& \\  M_X^{(2)}(t) & = e^t p& \\  E(X) &= M_X^{(1)}(0) = p& \\  V(X) & = M_X^{(2)}(0) - {M_X^{(1)}(0)}^2 = p(1-p)& \end{align*}

二項分布

表になる確率がpのn回のコイントスの分布であると考えられる

3つのアプローチで二項分布の期待値と分散を求めてみよう

確率質量関数

(10)   \begin{align*}         f(x;p) & = {}_nC_x p^x (1-p)^{n-x}\ (x = 0, 1, 2, ..., n) &\\ \end{align*}

確率質量関数から期待値と分散を求める

(11)   \begin{align*}         E(X) & = \sum^{n}_{x=0} x {}_nC_x p^x (1-p)^{n-x} & \\              & = \sum^{n}_{x=1} x \frac{n!}{(n-x)! x!} p^x (1-p)^{n-x} & \\              & = \sum^{n}_{x=1} np \frac{(n-1)!}{(n-x)! (x-1)!} p^{(x-1)} (1-p)^{(n-1)-(x-1)} & \\              & = np \sum^{n-1}_{x'=0} {}_{n-1}C_{x'}p^{x'}(1-p)^{(n-1)-x'}& \\              & = np (p + 1-p)^{n-1}& \\              & = np & \end{align*}

(12)   \begin{align*}         E(X(X-1)) & = \sum^{1}_{x=0} x(x-1) {}_nC_x p^x (1-p)^{n-x} & \\                & = \sum^{n}_{x=2} x(x-1) \frac{n!}{(n-x)! x!} p^x (1-p)^{n-x} & \\                & = \sum^{n}_{x=2} n(n-1)p^2 \frac{(n-2)!}{(n-x)! (x-2)!} p^{x-2} (1-p)^{(n-2)-(x-2)} & \\                & = n(n-1)p^2 \sum^{n-2}_{x'=0} {}_{n-2}C_{x'}p^{x'}(1-p)^{(n-2)-x'}& \\                & = n(n-1)p^2 (p + 1-p)^{n-2}& \\                & = n(n-1)p^2& \end{align*}

(13)   \begin{align*}         V(X) & = E(X^2) - {E(X)}^2& \\              & = n(n-1)p^2 + np - (np)^2& \\              & = np(1-p)& \end{align*}

累積分布関数

(14)   \begin{align*}         F_X(t) & = P(X \leq t)& \\                 & = \sum^t_{x=0} {}_nC_x p^x (1-p)^{n-x} \end{align*}

確率母関数

(15)   \begin{align*}         G_X(t) & = E[t^X]& \\                & = \sum^{n}_{x=0} t^x {}_nC_x p^x (1-p)^{n-x} & \\                & = \sum^{n}_{x=0} {}_nC_x (tp)^x (1-p)^{n-x} & \\                & = (tp + 1-p)^n& \end{align*}

確率母関数から期待値と分散を求める

(16)   \begin{align*}         G_X^{(1)}(t) & = np(tp + 1-p)^{n-1}& \\         G_X^{(2)}(t) & = n(n-1)p^2(tp + 1-p)^{n-2}& \\         E(X) & = G_X^{(1)}(1) = np & \\         V(X) & = G_X^{(2)}(1) - {G_X^{(1)}(1)}^2+G_X^{(1)}(1) & \\              & = n(n-1)p^2 - (np)^2 + np& \\              & = np(1-p)& \end{align*}

積率母関数

(17)   \begin{align*}         M_X(t) & = E[e^{tX}]& \\                & = \sum^{1}_{x=0} e^{tx} {}_nC_x p^x (1-p)^{n-x}& \end{align*}

積率母関数から期待値と分散を求める

(18)   \begin{align*}         M_X^{(1)}(t) & = \sum^{1}_{x=0} x e^{tx} {}_nC_x p^x (1-p)^{n-x}& \\         M_X^{(2)}(t) & = \sum^{1}_{x=0} x^2 e^{tx} {}_nC_x p^x (1-p)^{n-x}& \\         E(X) &= M_X^{(1)}(0) = E(X) = p & \\         V(X) & = M_X^{(2)}(0) - {M_X^{(1)}(0)}^2 = E(X^2) - {E(X)}^2 = np(1-p)& \end{align*}

ポアソン分布

二項分布においてnp = \lambda\ (定数)としたものである

回数nが大きくなると確率pが小さくなるので、めずらしい事象についての確率分布として使用される

3つのアプローチでポアソン分布の期待値と分散を求めてみよう

確率質量関数

(19)   \begin{align*}         f(x;\lambda) & = \lim_{n \leftrightarrow \infty} {}_nC_x \left(\frac{\lambda}{n}\right)^x \left(1-\frac{\lambda}{n} \right)^{n-x}\ (x = 0, 1, 2, ..., n) &\\                      & = \lim_{n \leftrightarrow \infty} {}_nC_x \left(\frac{\lambda}{n} \right)^x \left\{ \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{\frac{n}{\lambda}} \right\}^\lambda \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x} &\\                       & = \lim_{n \leftrightarrow \infty} \frac{n!}{(n-x)!x!} \left(\frac{\lambda}{n} \right)^x \left\{ \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-\frac{n}{\lambda}} \right\}^{-\lambda} \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x} &\\                      & = \lim_{n \leftrightarrow \infty} \frac{n(n-1)...(n-x+1)}{x!} \left(\frac{\lambda}{n} \right)^x \left\{ \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-\frac{n}{\lambda}} \right\}^{-\lambda} \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x} &\\                      & = \frac{\lambda^x}{x!} \lim_{n \leftrightarrow \infty} 1\left(1-\frac{1}{n}\right)...\left(1-\frac{x-1}{n}\right) \left\{ \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-\frac{n}{\lambda}} \right\}^{-\lambda} \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x} &\\                      & = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}& \end{align*}

確率質量関数から期待値と分散を求める

(20)   \begin{align*}         E(X) & = \sum^{\infty}_{x=0} x \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} & \\              & = \lambda \sum^{\infty}_{x=1} \frac{\lambda^{x-1} e^{-\lambda}}{(x-1)!}& \\              & = \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} \end{align*}

e^{\lambda x}x=0周りのテイラー展開にx=1を代入した形になっているため

(21)   \begin{align*}              & = \lambda & \\              & = np \end{align*}

二項分布の期待値にp=\frac{\lambda}{n}を代入しても簡単に求まる

(22)   \begin{align*}              & = \lambda & \\         E(X(X-1)) & = \sum^{\infty}_{x=0} x(x-1) \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} & \\                   & = \lambda^2 \sum^{\infty}_{x=2} \frac{\lambda^{x-2} e^{-\lambda}}{(x-2)!}& \\                   & = \lambda^2 e^{-\lambda} e^\lambda & \\                   & = \lambda^2 \\         V(X) & = E(X^2) - {E(X)}^2& \\              & = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2& \\              & = \lambda& \\              & = \lim_{n \leftrightarrow \infty} np(1-p) \end{align*}

二項分布の分散にp=\frac{\lambda}{n}を代入してn\inftyに近づけても同様に求まる

(23)   \begin{align*}              & = \lim_{n \leftrightarrow \infty} \lambda(1-\frac{\lambda}{n})& \\              & = \lambda & \end{align*}

累積分布関数

(24)   \begin{align*}         F_X(t) & = P(X \leq t)& \\                 & = \sum^t_{x=0} \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \end{align*}

確率母関数

(25)   \begin{align*}         G_X(t) & = E[t^X]& \\                & = \sum^{\infty}_{x=0} t^x \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} & \\                & = e^{-\lambda} \sum^{\infty}_{x=0} \frac{(t \lambda)^x}{x!} & \\                & = e^{-\lambda} e^{t \lambda} \end{align*}

e^{t \lambda x}x=0周りのテイラー展開にx=1を代入した形になっているため

(26)   \begin{align*}                & = e^{(t-1)\lambda}& \end{align*}

確率母関数から期待値と分散を求める

(27)   \begin{align*}         G_X^{(1)}(t) & = \lambda e^{(t-1)\lambda}& \\         G_X^{(2)}(t) & = \lambda^2 e^{(t-1)\lambda}& \\         E(X) & = G_X^{(1)}(1) = \lambda & \\         V(X) & = G_X^{(2)}(1) - {G_X^{(1)}(1)}^2+G_X^{(1)}(1) & \\              & = \lambda^2 - \lambda^2 + \lambda& \\              & = \lambda& \\ \\              \end{align*}

積率母関数

(28)   \begin{align*}         M_X(t) & = E[e^{tX}]& \\                & = \sum^{\infty}_{x=0} e^{tx} \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}& \\                & = e^{-\lambda} \sum^{\infty}_{x=0} \frac{(e^t\lambda)^x }{x!}& \\                & = e^{-\lambda} e^{e^t \lambda}& \\ \end{align*}

積率母関数から期待値と分散を求める

(29)   \begin{align*}         M_X^{(1)}(t) & = \lambda e^{\lambda e^t - \lambda + t}& \\         M_X^{(2)}(t) & = \lambda (\lambda e^t + 1) e^{\lambda e^t - \lambda + t}& \\         E(X) &= M_X^{(1)}(0) = \lambda & \\         V(X) & = M_X^{(2)}(0) - {M_X^{(1)}(0)}^2 = \lambda(\lambda+1) - \lambda^2 = \lambda & \\     \end{align*}

再生性

再生性についても示す

X, Yがそれぞれ独立にポアソン分布P_o(\lambda_1), P_o(\lambda_1)にしたがっているとする

このときZ = X+Yに対する確率質量関数は

(30)   \begin{align*}  f(z) = \sum^{z}_{x=0}f(x, z-x; \lambda_1, \lambda_2) & = \sum^{z}_{x=0} f(x;\lambda_1) f(z-x; \lambda_2)\\ & = \sum^{z}_{x=0} \frac{\lambda_1^xe^{-\lambda_1}}{x!} \frac{\lambda_2^{z-x}e^{-\lambda_2}}{(z-x)!}& \\ & = \frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{z!} \sum^{z}_{x=0} {}_zC_x \lambda_1^{x} \lambda_2^{z-x}&\\ & = \frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}(\lambda_1+\lambda_2)^z}{z!} & \end{align*}

超幾何分布

事前準備

N個の玉のうちM個が青、N-M個が赤のとき、非復元無作為抽出(玉を元に戻さずに繰り返し玉を取り出す)を行う場合にi回目が青の確率についてここで検討する

単純にi回目の青玉の選び方として、N個から1個取り出して、青M個から1個取り出し、それ以外のn-1回では、残りのN-1個から色関係なくn-1個取り出すと考えると、

    \[\frac{{}_M C_1}{{}_N C_1} \frac{{}_{N-1}C_{n-1}}{{}_{N-1}C_{n-1}}\]

真面目に考えると、n-1回までの青の個数によって、n回目の青を取り出す確率が決まる

(31)   \begin{align*} \sum^{n-1}_{x=0} \frac{{}_M C_x {}_{N-M} C_{(n-1)-x}}{{}_N C_{n-1}} \frac{M-x}{N-(n-1)} & = \frac{M}{N}\sum^{n-1}_{x=0} \frac{{}_{M-1}C_x {}_{(N-1)-(M-1)}C_{(n-1)-x}}{{}_{N-1}C_{n-1}} &\\ & = \frac{M}{N} \end{align*}

上記の最後の部分では超幾何分布の確率質量関数の和(=1)と一致することを利用

(32)   \begin{align*} \frac{{}_M P_1 {}_{N-1} P_{n-1}}{{}_N P_n} & = \frac{M}{N} &  \end{align*}

上記で用いた下記の定理について証明する

定理

    \[\sum^{n}_{x=0} {}_M C_x {}_{N-M}C_{n-x} = {}_NC_n\]

(証明)

(33)   \begin{align*} (a+b)^N & = (a+b)^M(a+b)^{N-M}& \\ \sum^{N}_{x=0} {}_N C_x a^x b^{N-x}& = \sum^{M}_{y=0} {}_M C_y a^y b^{M-y} \sum^{N-M}_{z=0} {}_{N-M} C_z a^z b^{N-M-z}& \end{align*}

左辺のa^nb^{N-n}の係数は、x=nのときで、{}_N C_nである

右辺のa^nb^{N-n}の係数は、y=l, z=n-l\ (l=0, 1, 2, ..., n)のときで、

    \[\sum^{n}_{l=0} {}_M C_l {}_{N-M}C_{n-l}\]

これらの係数が一致することから、上記の定理が証明された

確率質量関数

N個の部品の中にM個の不良品がある場合に、n個の非復元無作為抽出をした場合に取り出した不良品の個数の確率分布が超幾何分布である

(34)   \begin{align*} f(x;N,M) & = \frac{{}_M C_x {}_{N-M}C_{n-x}}{{}_N C_n} & \end{align*}

確率質量関数から期待値と分散を求める

(35)   \begin{align*} E(X) & = \sum^{n}_{x=0} x \frac{{}_M C_x {}_{N-M}C_{n-x}}{{}_N C_n} & \\ & = M \sum^{n}_{x=1} \frac{{}_{M-1} C_{x-1} {}_{(N-1)-(M-1)}C_{(n-1)-(x-1)}}{{}_N C_n} \\ & = M \frac{{}_{N-1}C_{n-1}}{{}_N C_n} & \\ & = n \frac{M}{N}& \\ E(X(X-1)) & = \sum^{n}_{x=0} x(x-1) \frac{{}_M C_x {}_{N-M}C_{n-x}}{{}_N C_n} & \\ & = M(M-1) \sum^{n}_{x=0} \frac{{}_{M-2} C_{x-2} {}_{(N-2)-(M-2)}C_{(n-2)-(x-2)}}{{}_N C_n} & \\ & = M(M-1) \frac{{}_{N-2}C_{n-2}}{{}_NC_n} & \\ & = n(n-1) \frac{M(M-1)}{N(N-1)}& \\\\ V(X) & = E(X^2) - {E(X)}^2& \\ & = n\frac{M}{N}\left\{ (n-1)\frac{M-1}{N-1} + 1 - n\frac{M}{N} \right\} & \\ & = n\frac{M}{N}\frac{(N-M)(N-n)}{N(N-1)} & \end{align*}

累積分布関数

(36)   \begin{align*} F_X(t) & = P(X \leq t)& \\ & = \sum^{t}_{x=0} \frac{{}_M C_x {}_{N-M}C_{n-x}}{{}_N C_n} & \end{align*}

確率母関数

(37)   \begin{align*}     G_X(t) & = E[t^X] & \\     & = \sum^{n}_{x=0} t^x \frac{{}_n C_x {}_{N-M} C_{n-x}}{{}_N C_n} & \end{align*}

(38)   \begin{align*}     G_X^{(1)}(t) & = E[Xt^{X-1}] & \\     & = \sum^{n}_{x=0} x t^{x-1} \frac{{}_n C_x {}_{N-M} C_{n-x}}{{}_N C_n} & \end{align*}

(39)   \begin{align*}     G_X^{(2)}(t) & = E[(X^2-X+t)t^{X-2}] & \\     & = \sum^{n}_{x=0} (x^2-x+t)t^{x-2} \frac{{}_n C_x {}_{N-M} C_{n-x}}{{}_N C_n} & \end{align*}

ここからの変形方法がまだわからないので現時点ではここまで

積率母関数

(40)   \begin{align*}     G_X(t) & = E[e^{tX}] & \\     & = \sum^{n}_{x=0} e^{tx} \frac{{}_n C_x {}_{N-M} C_{n-x}}{{}_N C_n} & \end{align*}

(41)   \begin{align*}     G_X^{(1)}(t) & = E[Xe^{tX}] & \\     & = \sum^{n}_{x=0} xe^{tx} \frac{{}_n C_x {}_{N-M} C_{n-x}}{{}_N C_n} & \end{align*}

(42)   \begin{align*}     G_X^{(2)}(t) & = E[X^2e^{tX}] & \\     & = \sum^{n}_{x=0} x^2e^{tx} \frac{{}_n C_x {}_{N-M} C_{n-x}}{{}_N C_n} & \end{align*}

ここからの変形方法がまだわからないので現時点ではここまで

今後整理したい事項

  • Nがnに対して十分大きい場合に二項分布に近似されることの証明

離散型一様分布

n個の離散値x_i\ (i=1, 2, ..., n)をそれぞれ確率\frac{1}{n}で取る確率分布

確率質量関数

(43)   \begin{align*}  f(x;n) & = \frac{1}{n} & \\ E(X) & = \sum^{n}_{i=1} x \frac{1}{n} = \frac{n+1}{2} & \end{align*}

確率質量関数から期待値と分散を求める

(44)   \begin{align*} E(X^2) & = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}x_i^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}& \\ V(X) & = \frac{(n^2-1)}{2}& \\ F_X(t) & = P(X\leq t) = \frac{1}{n} \frac{t(t+1)}{2} & \\ G_X(t) & = E[t^X] = & \end{align*}

今後整理したい事項

  • 累積分布関数
  • 確率母関数
  • 積率母関数

幾何分布

不良品が出るまで復元無作為抽出した場合の、取り出した良品の数を表す確率分布

確率質量関数

良品を取り出す確率をpとする

(45)   \begin{align*}  f(x;p) & = p(1-p)^x & \\ S & = \lim_{n \rightarrow \infty}\sum^{n}_{x=1} x (1-p)^x & \\ (1-p) S & = \lim_{n \rightarrow \infty}\sum^{n}_{x=1} x (1-p)^{x+1} & \\ (1-(1-p))S & = \lim_{n \rightarrow \infty}\sum^{n}_{x=1} (1-p)^x& \\ S & = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(1-p)(1-(1-p)^{n+1})}{p^2} & \\ & = \frac{1-p}{p^2}& \end{align*}

(46)   \begin{align*}   E(X) & = \sum^{\infty}_{x=0} x p(1-p)^x& \\ & = \frac{1-p}{p}&  \end{align*}

今後整理したい事項

  • 累積分布関数
  • 確率母関数
  • 積率母関数
  • 無記憶性

多項分布

今までは1変数の確率分布でしたが、こちらの多項分布と次のカテゴリ カル分布は多変数の確率分布です

確率質量関数

(47)   \begin{align*} \sum^{K}{k=1}x_k & = n &\\ \sum^{K}{k=1}p_k & = 1 &\\ f(x_1,x_2,...,x_K;p_1,p_2,...,p_K) & = \frac{n!}{x_1!x_2!...x_K!}p_1^{x_1}p_2^{x_2}...p_K^{x_K} & \end{align*}

期待値

(48)   \begin{align*}         E(X_1 = x) & = \sum^{n}_{x=0} x \frac{n!}{x!x_2!x_3!...x_K!}p_1^xp_2^{x_2}p_3^{x_3}...p_K^{x_K} & \\         & = n p_1\sum^{n}_{x=1} \frac{(n-1)!}{(x-1)!x_2!x_3!...x_K!}p_1^{x-1}p_2^{x_2}p_3^{x_3}...p_K^{x_K} & \\         & = n p_1\sum^{n-1}_{x'=0} \frac{(n-1)!}{x'!x_2!x_3!...x_K!}p_1^{x'}p_2^{x_2}p_3^{x_3}...p_K^{x_K} & \\         & = n p_1 & \end{align*}

分散

(49)   \begin{align*}         E(X_1(X_1-1)) & = n(n-1)p_1^2& \\         V(X_1) & = n(n-1)p_1^2 - n^2p_1^2 + np_1 = np_1(1-p_1) & \end{align*}

共分散

(50)   \begin{align*}         Cov(X_1, X_2) & = E[X_1X_2] - E[X_1]E[X_2] & \\         & = n(n-1)p_1p_2 - n^2p_1p_2 & \\         & = -np_1p_2& \end{align*}

カテゴリカル分布

確率質量関数

    \[\sum^{K}_{k=0} x_k = 1\]

    \[\sum^{K}_{k=0} p_k = 1\]

    \[f(x_1,x_2,...,x_K;p_1,p_2,...,p_K) = p_1^{x_1}p_2^{x_2}...p_K^{x_K}\]

期待値

(51)   \begin{align*}         E(X_k) = \sum^{x=1}_{x=0} x p_1^{x_1}p_2^{x_2}...p_k^{x}...p_K^{x_K} = p_k  \end{align*}

分散

(52)   \begin{align*}         V(X_k) = 0 - p_k^2 + p_k = p_k(1-p_k)  \end{align*}

共分散

(53)   \begin{align*}         Cov(X_i,X_j) = 0 - p_ip_j \end{align*}

参考文献

コメント

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