思考停止をやめて自分の頭で考えませんか? 1+1=2なのか?

プログラミング・数学・英会話
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想定読者
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  • なんでも自分で考えずに信じ込む癖を直したい
  • 1+1=2を子供や小学生にきちんと説明したい
  • 自分の頭で考えられるようになりたい
  • ちょっとした雑学でドヤ顔したい

そんな方はこちらの記事をご覧になってください

当たり前だろ!1+1=2だ!と思ったそこのあたな、普段から以下のような考えをしてしまってはいませんか?

  • あまり深く考えずにそう習ったからそうなんだ!
  • 偉い人(親、先生、有名人)がそういっているから間違いない!
  • 多くの人がそういっているからそのはずだ!

こういう考えはものすごく危ういです

自分の頭で根拠や理由を一切考えずにすべてを他人任せになっている状態です

そういう人は詐欺師などにだまされる可能性があるので十分注意してください

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1+1=?

 まず1つ目の題材としては、1+1=?という問いについて考えたいと思います。

1+1=?と聞かれて、たいていの素直な人は2だと言うでしょう。

素直な人
素直な人

当然2が答えだよ!

小学生ならば田んぼの田と答えるかもしれません。

小学生
小学生

田んぼの田!

ちょっとひねくれた人は、2進数で考えると、10だと答える人もいるでしょう。

ひねくれ猫
ひねくれ猫

2進数だと10だね!

+が論理和だと考えると、1だと答える人もいるでしょう。

排他的論理和なら0です。

はたまた+が文字列の連結だと考えると、11も考えられます。

結局何が正解なんだ・・・!?

どれもある意味正解ですが、厳密ではありません。

何が問題なのか?

何が問題かというと、1+1=?という問い自体が数学的には不十分かつ曖昧な問いである点です。

例えば、2という言葉を期待するのであれば、以下の条件がないと、問題として厳密ではありません。

条件
  • ここで言う1は実数または整数の集合に属する
  • +は実数または整数の定義に基づく加法の+演算子である

つまり、1や+の定義によって答えは変わってしまうということです。

 整数の場合に1+1=2になるかみてみよう

ここでは1が整数で+が整数の定義の加法による演算であるという前提で1+1=2となるということについて考えます。

では、なぜ1+1=2になるのでしょうか?

そう決まっているもんだとか、りんごを持ち出して、1つのりんごにもう1つりんごもってきたら数はいくつだ?2つだろ?そういうことだ、とかいう風にごまかしたりしていませんか?

小中高生の方や、文系の方はこれでもいいかもしれません。

ただ数学の先生だったり、理系出身の方がそういうごまかしをした場合、その人の話は話半分に聞いておいた方が良いかもしれません。

1+1=2というのは、当たり前に成り立つものではなく、整数の定義から導出されるもので、証明可能なものです。

このあたりは理系の大学で習う教養の範囲で数学の代数の部分で勉強します。

整数の定義の一部抜粋
  1. a+b=b+a, ab = ba(交換法則)
  2. a * 1 = aとなる単位元1が存在する.
  3. *の乗法演算子の定義として: a + a + a…+a(n times) = n*a (乗法の定義)

略解

簡単な証明っぽいものを書いておきます。

2 = 2 * 1 (条件2におけるa=2の場合)・・・ [i]
1 + 1 = 2 *1 (条件3におけるa=1, n=2の場合)・・・ [ii]
2 = 1 + 1 ([i], [ii]より)

※かなりいろいろはしょってます。

上記の証明によってようやく1が整数で、+が整数の定義にもとづく和である場合に、1+1=2が導かれました!

最後に

今までは思考停止に1+1=2で、それ以外のことを言うやつはただ面倒くさいヤツだから相手にしなくて良い、などと思ってはいませんでしたか?

小学校の先生ですらそういう考えの人は多いかもしれません

しかし、一見当然と思えることでもその根拠となる定義などが一度変わってしまうと、そこから導かれる結果は如何様にも変わってしまうのです

それは1+1という一見小学生でもわかるような問題であってもそうなんです

twitterなどでもたくさんRTされているツイートは一見正しそうに思えますが、全く真実と異なる内容なのに多くの人が信じてしまっているということはよくあります

自分でかならず根拠となる正しい情報を確認し、正しい定義の元で考えたときに、その情報は正しいのか?正しくないのか?自分の頭で考えられるようしていきたいですね

ところで、論理学の世界で「AならばB」という命題が真か偽かというのを考えるときに、Aが偽となるものを持ってくると必ずこの命題は真になってしまいます

つまりはAがでたらめであればBがなんであったとしてもこの命題が真になってしまうということです

このことからも元となる根拠や定義などがいかに重要かがわかりますよね

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